قضیه بیز چیست و نحوه محاسبه آن چگونه است؟

قضیه بیز به شما اجازه می دهد تا احتمالات پیش بینی شده رویداد خاصی را با لحاظ کردن اطلاعات جدید به روز رسانی کنید.

کد خبر: ۷۱۰۰۸۹

۲۴ فروردين ۱۴۰۲

در امور مالی، می توان از قضیه بیز برای رتبه بندی ریسک وام دادن پول به وام گیرندگان بالقوه استفاده کرد. قضیه بیز را قاعده یا قانون بیز نیز می نامند این قضیه پایه و اساس رشته آمار بیزی است.

نکات کلیدی

قضیه بیز به افتخار ریاضیدان قرن هجدهم توماس بیز نامگذاری شد.

این قضیه اغلب در امور مالی و به منظور به روز رسانی ارزیابی ریسک استفاده می شود.

این قضیه به ابزار مفیدی در زمینه‌ی پیاده‌سازی آموزش ماشینی تبدیل شده است.

این قضیه به دلیل حجم محاسبات بالای لازم برای انجام معاملات آن به دو قرن بلااستفاده باقی مانده بود.

درک قضیه بیز

این قضیه کاربردهای گسترده‌ای دارد و کاربردهای آن به حوزه مالی محدود نمی‌شود. به عنوان مثال، قضیه بیز را می توان برای تعیین صحت نتایج آزمایش پزشکی با در نظر گرفتن میزان احتمال ابتلای هر فرد خاص به بیماری و دقت کلی آزمایش استفاده کرد. قضیه بیز بر استفاده از توزیع های احتمال قبلی به منظور محاسبه احتمالات پسین تکیه دارد.

احتمال قبلی در استنتاج آماری بیزی، احتمال وقوع یک رویداد خاص قبل از جمع‌آوری داده‌های جدید است. به بیان دیگر، این قضیه بهترین ارزیابی منطقی از احتمال رویداد یک نتیجه خاص بر اساس دانش فعلی و قبل از انجام آزمایش به حساب می‌آید.

احتمال پسین احتمال تجدید نظر شده یک رویداد خاص پس از در نظر گرفتن اطلاعات جدید است. احتمال پسین با به روز رسانی احتمال قبلی با استفاده از قضیه بیز محاسبه می شود. از نظر آماری، احتمال پسین  احتمال وقوع رویداد A به شرط وقوع رویداد B است.

بنابراین، قضیه بیز احتمال وقوع یک رویداد را بر اساس اطلاعات جدیدی که به آن رویداد مرتبط است یا ممکن است به آن مرتبط باشد به دست می دهد. از این معادله همچنین می‌توان برای ارزیابی نحوه‌ی تاثیرپذیری احتمال وقوع یک رویداد از اطلاعات فرضی جدید با فرض درست بودن اطلاعات جدید استفاده کرد.

به عنوان مثال، کشیدن یک کارت از یک دسته کامل 52 کارتی را در نظر بگیرید.

احتمال پادشاه بودن هر کارت برابر است چهار تقسیم بر 52 که با 13/1 یا تقریباً 7.69٪  برابر می‌شود.  به یاد داشته باشید که تنها چهار پادشاه در هر دسته کارت وجود دارد. حال فرض کنید مشخص شود که کارت انتخاب شده یک کارت چهره است. بدین ترتیب احتمال اینکه کارت انتخاب شده پادشاه باشد، با توجه به اینکه کارت کشیده شده کارت چهره است، چهار تقسیم بر 12 یا تقریباً 33.3٪ می‌شود، زیرا در هر دسته کارت 12 کارت چهره وجود دارد.

فرمول قضیه بیز

که در آن:

P(A) = احتمال وقوع A

P(B) = احتمال وقوعB

P(A∣B) = احتمال وقوع A به شرط [وقوع] B

P(B∣A)= احتمال وقوع B  به شرط وقوع A

P(A∩B)) = احتمال وقوع هم A   و هم B

مثال هایی از قضیه بیز

در زیر دو مثال از قضیه بیز آورده شده است که در آن مثال اول با استفاده از سهام Amazon.com Inc. (AMZN)  نشان می دهد که چگونه می‌توان از این فرمول در یک مثال سرمایه گذاری سهام استفاده کرد. مثال دوم، استفاده از قضیه بیز در زمینه‌ی آزمایش دارو در حوزه داروسازی نشان می‌دهد.

محاسبه فرمول قضیه بیز

قضیه بیز صرفا از بدیهیات احتمال شرطی ناشی می شود. احتمال شرطی احتمال وقوع یک رویداد با توجه به رخ داد رویداد دیگر است. به عنوان مثال، در یک سوال احتمالی ساده ممکن است چنین پرسیده شود که: “احتمال کاهش قیمت سهام Amazon.com چقدر است؟” احتمال شرطی این سوال را یک قدم به جلوتر می‌برد و می‌پرسد: “اگر شاخص میانگین صنعتی داوجونز (DJIA) زودتر سقوط کرده باشد، احتمال کاهش قیمت سهام AMZN چقدر خواهد بود؟”

احتمال شرطی A به شرط روی داد B را می توان به صورت زیر بیان کرد:

اگر  A رویداد: “قیمت AMZN کاهش می یابد”، باشد P(AMZN) احتمال سقوط  AMZN خواهد بود.

و اگر B رویداد”:شاخص داوجونز در حال حاضر سقوط کرده است” باشد و P(DJIA) احتمال سقوط DJIA را نشان دهد در این صورت عبارت احتمال مشروط به صورت زیر خواهد بود: “احتمال کاهش AMZN به شرط کاهش DJIA که برابر است با احتمال کاهش قیمت AMZN و DJIA تقسیم بر احتمال کاهش شاخص  DJIA.

P(AMZN|DJIA) = P(AMZN and DJIA) / P(DJIA)

که در آنP(AMZN and DJIA)  احتمال وقوع هر دو رویداد A و B است. این احتمال هم‌چنین مشابه احتمال وقوع A ضرب در احتمال وقوع B به شرط روی داد A است که به صورتP(AMZN) x P(DJIA|AMZN)  نیز نشان داده می شود. این واقعیت که این دو عبارت برابر هستند عامل پیدایش قضیه بیز است که به صورت زیر نوشته می شود:

اگر

P(AMZN and DJIA) = P(AMZN) x P(DJIA|AMZN) = P(DJIA) x P(AMZN|DJIA)

در این صورت

P(AMZN|DJIA) = [P(AMZN) x P(DJIA|AMZN)] / P(DJIA).

که در آن P(AMZN)  و  P(DJIA)احتمال سقوط آمازون و داو جونز بدون توجه به یکدیگر است.

این فرمول رابطه بین احتمال فرضیه را قبل از دیدن شواهد رویداد P(AMZN) و احتمال فرضیه پس از بدست آوردن شواهد رویداد  P(AMZN|DJIA)را توضیح و احتمال فرضیه‌ی رویداد Amazon به شرط مشاهده شواهد رویداد DOW را نشان می‌دهد.

مثال عددی از قضیه بیز

به عنوان یک مثال عددی، تصور کنید دقت یک آزمایش دارویی 98٪ است، به این معنی که در 98٪ از مواقع یک نتیجه مثبت واقعی را برای شخصی که از دارو استفاده می کند و در 98٪ مواقع یک نتیجه منفی واقعی را برای افرادی که از دارو استفاده نمی کنند نشان می دهد.

در مرحله بعد، فرض کنید 0.5٪ از مردم از دارو استفاده می کنند. اگر آزمایش داروی فردی که به‌طور تصادفی انتخاب شده است مثبت باشد، محاسبات زیر را می‌توان برای تعیین این احتمال استفاده کرد که فرد انتخاب شده واقعا این دارو را مصرف می‌کند.

قضیه بیز نشان می دهد که حتی اگر آزمایش فردی در این سناریو مثبت باشد، تقریباً به احتمال 80 درصد ممکن است فرد این دارو را مصرف نکرده باشد.