هرچیزی که باید درمورد مدل بلک-اسکولز بدانید​

مدل بلک اسکولز که با نام مدل بلک-اسکولز-مرتون (BSM) نیز شناخته می شود، یکی از مهم ترین مفاهیم نظریه‌ی مالی مدرن است.

کد خبر: ۷۱۰۰۸۴

۳۱ فروردين ۱۴۰۲

این معادله ریاضی ارزش نظری مشتقات را براساس سایر ابزارهای سرمایه گذاری و با در نظر گرفتن تأثیر زمان و سایر عوامل خطر تخمین می زند. این الگو در سال 1973 توسعه یافت و هنوز به عنوان یکی از بهترین روش های قیمت گذاری قرارداد اختیار معامله در نظر گرفته می شود.

نکات کلیدی

مدل بلک اسکولز که در عین حال با نام مدل بلک-اسکولز-مرتون (BSM) نیز شناخته می‌شود، معادله‌ی دیفرانسیلی است که به طور گسترده برای قیمت گذاری قراردادهای اختیار معامله استفاده می شود.

مدل بلک اسکولز به پنج متغیر ورودی نیاز دارد: قیمت اجرای قرارداد اختیار معامله، قیمت فعلی سهام، مدت زمان باقی مانده تا انقضای قرارداد، نرخ بهره‌ی بدون ریسک، و نوسانات.

اگرچه مدل بلک-اسکولز معمولاً دقیق است اما مفروضات خاصی در آن لحاظ شده است که ممکن است منجر به قیمت هایی شوند که از نتایج دنیای واقعی فاصله دارند.

مدل استاندارد BSM فقط برای قیمت گذاری قراردادهای اختیار معامله اروپایی استفاده می شود، زیرا در این الگو امکان اجرای قراردادهای اختیار معامله آمریکایی پیش از تاریخ انقضا در نظر گرفته نشده است.

تاریخچه مدل بلک اسکولز

مدل بلک اسکولز که در سال 1973 توسط فیشر بلک، رابرت مرتون و مایرون اسکولز ابداع شد، اولین روش ریاضی پرکاربرد برای محاسبه ارزش نظری قراردادهای اختیار معامله، با استفاده از قیمت‌های فعلی سهام، سود سهام مورد انتظار، قیمت اجرای قرادادهای اختیار معامله، نرخ بهره‌ی مورد انتظار، مدت زمان باقی مانده تا انقضای قرارداد و قدرت نوسان مورد انتظار بود.

معادله اولیه در مقاله بلک و اسکولز که در سال 1973 با عنوان “قیمت گذاری قراردادهای اختیار معامله و بدهی های شرکتی” در مجله اقتصاد سیاسی منتشر شد، معرفی شد. رابرت سی مرتون به ویرایش آن مقاله کمک کرده بود. وی بعداً در همان سال مقاله خود را با عنوان «نظریه قیمت‌گذاری منطقی قراردادهای اختیار معامله» در مجله‌ی اقتصادی و علوم مدیریتی بل منتشر کرد و درک ریاضی و کاربردهای این مدل را گسترش داد و اصطلاح «نظریه بلک-اسکولز برای قیمت‌گذاری قراردادهای اختیار معامله» را ابداع کرد.

در سال 1997، اسکولز و مرتون به دلیل تلاش برای یافتن “روش جدیدی برای تعیین ارزش مشتقات”جایزه یادبود نوبل در علوم اقتصادی را دریافت کردند. بلک دو سال پیش از آن فوت کرده بود و بنابراین نمی‌توانست دریافت‌کننده‌ی این جایزه باشد زیرا جوایز نوبل پس از مرگ به افراد داده نمی‌شوند. با این حال، کمیته نوبل نقش او را در تدوین مدل بلک اسکولز تایید کرد.

نحوه کارکرد مدل بلک اسکولز

ذبر این باور مبتنی است که ابزارهایی مانند سهام یا قراردادهای آتی از توزیع قیمت لاگ نرمال برخوردار خواهند بود که سیری تصادفی همراه با لغزش و نوسان ثابت را دنبال می‌کند. این معادله با استفاده از این فرض و لحاظ کردن سایر متغیرهای مهم، قیمت قرارداد اختیار خرید اروپایی را بدست می‌آورد.

معادله بلک اسکولز به پنج متغیر نیاز دارد. این نهاده ها عبارتند از: نوسان، قیمت دارایی پایه، قیمت اعمال قرارداد اختیار معامله، مدت زمان تا انقضای قرارداد و نرخ بهره بدون ریسک. به لحاظ نظری، فروشندگان قراردادهای اختیار معامله با استفاده از این متغیرها می‌توانند قیمتی منطقی برای قراردادهای اختیار معامله‌ای که قصد فروش آن‌ها را دارند تعیین کنند.

علاوه بر این، این مدل پیش‌بینی می‌کند که قیمت دارایی‌هایی که حجم معاملاتی بالایی دارند از الگوی حرکت هندسی براونی با لغزش و نوسان ثابت پیروی می‌کند. هنگام استفاده از این مدل برای تعیین قیمت قراردادهای اختیار سهام، بایستی تغییرات قیمت ثابت سهام، ارزش زمانی پول، قیمت اعمال قراردادهای اختیار معامله و زمان انقضای قراردادهای اختیار معامله لحاظ شوند.

فرضیات بلک اسکولز

مدل بلک اسکولز مفروضات خاصی را مطرح می کند:

در طول عمر قرارداد اختیار معامله هیچ سود سهامی پرداخت نمی شود.

بازارها تصادفی هستند (یعنی حرکت بازار قابل پیش بینی نیست)

هیچ هزینه مبادله ای برای خرید گزینه وجود ندارد.

نرخ بدون ریسک و نوسانات دارایی پایه مشخص و ثابت است.

بازده دارایی پایه از توزیع لاگ نرمال برخوردار است.

قرارداد اختیار معامله‌ی مربوطه اروپایی است و فقط در تاریخ انقضا قابل اعمال است.

مهم

از سوی دیگر، شرکت‌ها برای قیمت‌گذاری قراردادهای اختیار معامله آمریکایی که معامله‌ی آن‌ها رایج‌تر است از مدل دوجمله‌ای یا سه‌جمله‌ای یا مدل Bjerksund-Stensland استفاده می‌کنند. در حالی که در مدل اصلی بلک اسکولز اثرات سود سهام پرداخت شده در طول عمر قرارداد اختیار معامله در نظر گرفته نمی‌شود، اغلب با تعیین ارزش تاریخ تقسیم سود سهام پایه از این مدل برای محاسبه سود سهام استفاده می شود. این مدل همچنین توسط بسیاری از بازارسازان قراردادهای اختیار فروش اصلاح شده است تا تأثیر قراردادهایی که امکان اعمال آن‌ها قبل از تاریخ انقضا وجود دارد در آن لحاظ شود.

فرمول مدل بلک اسکولز

محاسبات ریاضی استفاده شده در این معادله پیچیده هستند و ممکن است حتی ترسناک به نظر برسند. خوشبختانه، برای استفاده از مدل سازی بلک اسکولز در راهبردهای معاملاتی خود نیازی به دانستن یا حتی درک ریاضی ندارید. معامله‌گران قراردادهای اختیار معامله به انواع ماشین‌حساب‌های آنلاین قراردادهای اختیار معامله دسترسی دارند و بسیاری از پلتفرم‌های معاملاتی امروزی به دلیل ارائه‌ی ابزارهای قوی تجزیه و تحلیل قراردادهای اختیار معامله، از جمله شاخص‌ها و صفحات گسترده اکسل  که این محاسبات را انجام می‌دهند و قیمت قرادادهای اختیار معامله را تعیین می‌کنند به خود افتخار می‌کنند.

فرمول اختیار خرید بلک اسکولز با ضرب قیمت سهام در تابع توزیع احتمال عادی استاندارد تجمعی محاسبه می شود. پس از آن، حاصلضرب ارزش خالص فعلی (NPV)  قیمت اعمال معامله در توزیع نرمال استاندارد تجمعی از مقدار حاصل از محاسبات قبلی کم می شود.

به بیان نمادهای ریاضی می‌توان چنین نوشت:

C=St​N(d1​)−Ke−rtN(d2​)

که در آن:

و

که در آن:

C=قیمت قرارداد اختیار خرید

S=قیمت فعلی سهام یا سایر دارایی‌های پایه

K=قیمت  اعمال

r=نرخ بهره بدون ریسک

t=زمان باقی مانده تا سررسید

N=توزیع نرمال

است.

چولگی نوسان

در مدل بلک-اسکولز فرض می شود که قیمت سهام از توزیع لاگ نرمال پیروی می کند زیرا قیمت دارایی‌ها نمی تواند منفی شود (آنها به صفر محدود می شوند)

اغلب، مشاهده می شود که نمودار قیمت دارایی‌ها دارای چولگی قابل توجهی به سمت راست و مقداری کشیدگی (دم چاق) است. این بدان معناست که تعداد حرکت‌های نزولی پرخطر در بازار اغلب بیشتر از پیش‌بینی تابع توزیع عادی است.

مطابق مدل بلک اسکولز فرض پیروی قیمت دارایی‌های پایه از توزیع لاگ نرمال منطقی باید نشان دهد که نوسانات ضمنی هر قیمت اعمال قرارداد مشابه یکدیگر است. با این حال، از زمان سقوط بازار در سال 1987، نوسانات ضمنی قراردادهای اختیار معامله‌ی در سود کمتر از قراردادهای در ضرر یا به شدت در ضرر هستند. دلیل این پدیده این است که در قمیت بازاری این قراردادها احتمال بالاتری برای حرکت پرنوسان قیمت به سمت پایین لحاظ می‌شود.

این وضعیت منجر چولگی نوسان ایجاد می‌کند. هنگامی که نوسانات ضمنی قراردادهای اختیار معامله با تاریخ انقضای یکسان بر روی یک نمودار ترسیم شود، تصویر مشابه یک لبخند یا شکلی کج دیده می شود. بنابراین، مدل بلک اسکولز برای محاسبه نوسانات ضمنی کارآمد نیست.

اشکالات مدل بلک اسکولز

همانطور که قبلاً گفته شد، مدل بلک-اسکولز فقط برای قیمت گذاری قراردادهای اختیار معامله‌ی اروپایی استفاده می شود و ویژگی قرادادهای اختیار معامله ایالات متحده که قبل از تاریخ انقضا قابل اعمال هستند در آن لحاظ نشده است. علاوه بر این، در این مدل سود سهام و نرخ‌های بدون ریسک ثابت فرض می‌شوند، اما ممکن است این وضعیت در واقعیت صادق نباشد. این مدل همچنین فرض می‌کند که نوسان در طول عمر قرارداد اختیار معامله ثابت باقی می‌ماند که اینطور نیست زیرا نوسان با سطح عرضه و تقاضا نوسان می‌کند.

علاوه بر این، سایر مفروضات – اینکه هیچ‌گونه هزینه معاملات یا مالیاتی وجود ندارد، نرخ بهره بدون ریسک برای همه سررسیدها ثابت است، فروش استقراضی اوراق بهادار با استفاده از عواید مجاز است و اینکه فرصت‌های آربیتراژگیری بدون ریسک وجود ندارد ممکن است به برآورد قیمت‌هایی منجر شوند که قیمت‌های دنیای واقعی اختلاف زیادی دارند.

مدل بلک اسکولز چه کارکردی دارد؟

مدل بلک اسکولز که همچنین به عنوان مدل Black-Scholes-Merton (BSM) نیز شناخته می شود، اولین مدل پرکاربرد برای قیمت گذاری قراردادهای اختیار معامله بود. این معادله بر اساس این فرض که قیمت‌های ابزارهایی مانند سهام یا قراردادهای آتی دارای از توزیع لاگ نرمالی برخوردار خواهد بود که سیری تصادفی با لغزش و نوسان ثابت را دنبال می‌کند و هم‌چنین لحاظ کردن سایر متغیرهای مهم قیمت قراردادهای اختیار خرید اروپایی را تعیین می‌کند. این کار با کم کردن حاصلضرب ارزش فعلی خالص (NPV) قیمت در توزیع نرمال استاندارد و تجمعی از حاصلضرب قیمت سهام و تابع توزیع احتمال عادی استاندارد و تجمعی انجام می شود.

ورودی های مدل بلک اسکولز چیستند؟

ورودی های معادله بلک اسکولز عبارتند از: نوسانات، قیمت دارایی پایه، قیمت اعمال قراردادهای اختیار معامله، مدت زمان تا انقضای قرارداد اختیار معامله و نرخ بهره بدون ریسک. فروشندگان قراردادهای اختیار معامله با استفاده از این متغیرها به لحاظ تئوری می‌توانند قیمتی منطقی برای قراردادهای اختیار معامله‌ای که قصد فروش آن‌ها را دارد تعیین کنند.

مدل بلک اسکولز چه فرضیاتی دارد؟

مدل بلک اسکولز مفروضات خاصی را در نظر می‌گیرد. مهمترین آنها این است که قرارداد اختیار معامله از نوع قراردادهای اروپایی است و فقط در تاریخ انقضا قابل اعمال است. مفروضات دیگر این مدل عبارتند از اینکه هیچ سود سهامی در طول عمر اختیار معامله پرداخت نمی شود، حرکت بازار قابل پیش بینی نیست و هیچ هزینه‌ی معامله‌ای برای خرید قرارداد اختیار معامله وجود نداشته باشد، نرخ بهره بدون ریسک و نوسانات مبنا مشخص و ثابت هستند و بازده دارایی پایه از توزیع لاگ نرمال برخوردار است.

محدودیت های مدل بلک اسکولز چیست؟

مدل بلک اسکولز فقط برای قیمت گذاری قراردادهای اختیار معامله‌ی اروپایی استفاده می شود و این نکته را در نظر نمی گیرد که قراردادهای اختیار معامله‌ی آمریکایی قبل از تاریخ انقضا قابل اعمال هستند. علاوه بر این، در این مدل فرض می‌شود سود سهام، نوسانات و نرخ‌های بدون ریسک در طول عمر قرارداد اختیار معامله ثابت باقی می‌مانند.

در نظر نگرفتن مالیات، کمیسیون یا هزینه های معاملاتی یا مالیات نیز ممکن است به ارزش گذاری هایی متفاوت از دنیای واقعی منجر شود.