تحلیل بازگشتی غیرخطی چیست؟

​در تحلیل بازگشتی خطی و ساده دو متغیر (X و Y) با یک خط مستقیم (y = mx + b) به یکدیگر مرتبط می‌شوند، در حالی که در تحلیل بازگشتی غیرخطی دو متغیر با یک رابطه غیرخطی (منحنی) به یکدیگر مرتبط می‌شوند.

هدف این مدل این است که مجموع مربع های اختلافات تا حد امکان کوچک شود. مجموع مربع ها معیاری است که برای دنبال کردن میزان تفاوت مشاهدات Y از تابع غیرخطی (منحنی) پیش بینی مقادیر Y، استفاده می‌شود.

برای محاسبه این معیار ابتدا اختلافات بین تابع غیرخطی برازش شده و هر نقطه داده Y در مجموعه داده‌ها محاسبه می شود. سپس، هر یک از آن اختلافات به توان 2 می‌رسد. در نهایت، تمام اعداد مربع با هم جمع می شوند. هرچه مجموع این ارقام مربع کوچکتر باشد، تابع با نقاط مجموعه داده بهتر مطابقت خواهد داشت. تحلیل بازگشتی غیرخطی از توابع لگاریتمی، توابع مثلثاتی، توابع نمایی، توابع توانی، منحنی های لورنز، توابع گاوسی و سایر روش های برازش استفاده می کند.

نکات کلیدی

تحلیل بازگشتی غیرخطی یک تابع منحنی‌شکل از یک متغیر X (یا چند متغیر) است که برای پیش‌بینی متغیر Y استفاده می‌شود.

تحلیل بازگشتی غیرخطی می تواند رشد جمعیت را در طول زمان پیش بینی کند.

مدل‌سازی تحلیل بازگشتی غیرخطی از این نظر مشابه مدل‌سازی تحلیل بازگشتی خطی است که هر دو به دنبال پیش‌بینی یک پاسخ خاص به مجموعه‌ای از متغیرها به کمک ترسیم نمودار هستند. توسعه مدل‌های غیرخطی پیچیده‌تر از مدل‌های خطی است، زیرا تابع به کمک مجموعه‌ای از تقریب‌هایی (تکرار) ایجاد می‌شود که ممکن است از روش آزمون و خطا ناشی شده باشند. ریاضیدانان از چندین روش ثابت مانند روش گاوس-نیوتن و روش لونبرگ-مارکوارت استفاده می کنند برای تعیین این توابع استفاده می‌کنند.

اغلب، برخی مدل های تحلیل بازگشتی که در نگاه اول غیرخطی به نظر می رسند، در واقع خطی هستند. از روش تخمین منحنی می توان برای شناسایی ماهیت روابط تابعی موجود در داده ها استفاده کرد، بنابراین می توان مدل تحلیل بازگشتی خطی یا غیرخطی صحیح را انتخاب کرد. مدل‌های تحلیل بازگشتی خطی، در حالی که معمولاً یک خط مستقیم را تشکیل می‌دهند، بسته به شکل معادله تحلیل بازگشتی خطی ممکن است منحنی نیز تشکیل دهند. به همین ترتیب، می‌توان از محاسبات جبری برای تبدیل یک معادله غیرخطی استفاده کرد تا رفتار یک معادله خطی را تقلید کند – اینگونه معادله‌های غیرخطی به عنوان معادله‌های «ذاتا خطی» نامیده می‌شوند.

واقعیت سریع

تحلیل بازگشتی خطی دو متغیر را با یک خط مستقیم به یکدیگر مرتبط می‌سازد. در تحلیل بازگشتی غیرخطی متغیرها با استفاده از یک منحنی به یکدیگر مرتبط می‌شوند.

مثالی از تحلیل بازگشتی غیرخطی

یکی از مثال‌هایی که نحوه‌ی استفاده از تحلیل بازگشتی غیرخطی را نشان می‌دهد پیش بینی رشد جمعیت در طول زمان است. با توجه به نمودار پراکندگی تغییر داده های رشد جمعیت در طول زمان به نظر می رسد بین زمان و رشد جمعیت رابطه‌ای وجود داشته باشد، اما رابطه این دو متغیر یک رابطه غیرخطی است که به استفاده از مدل تحلیل بازگشتی غیر خطی نیاز دارد. با استفاده از مدل رشد لجستیک جمعیت می‌توان تخمین‌هایی را برای رشد جمعیت در دوره‌هایی که رشد جمعیت اندازه‌گیری نشده است و پیش‌بینی‌هایی برای رشد جمعیت در آینده ارائه داد.

متغیرهای مستقل و وابسته‌ای که در تحلیل بازگشتی غیرخطی استفاده می‌شوند باید متغیرهای کمی باشند. متغیرهای طبقه بندی مانند منطقه محل سکونت یا مذهب، باید به صورت متغیرهای باینری یا سایر انواع متغیرهای کمی کدگذاری شوند.

برای به دست آوردن نتایج دقیق از مدل تحلیل بازگشتی غیرخطی، بایستی اطمینان حاصل کرد تابع تعریف شده رابطه بین متغیرهای مستقل و وابسته را به دقت توصیف می‌کند. مقادیر ابتدایی مناسب نیز برای پیش‌بینی نتایج دقیق ضروری هستند. مقادیر ابتدایی نامناسب ممکن است منجر به مدلی شوند که نتایج آن با واقعیت همگرا نیستند یا پیش‌بینی‌های آن که فقط به صورت مقطعی و نه به طور کلی کارایی دارند، اگرچه قالب تابعی مناسبی برای مدل تعریف شده باشد.