توزیع دو جمله ای چیست؟ بررسی نمونه ای از آن

توزیع دو جمله ای توزیع احتمالی است احتمال برابری مقدار یک متغیر را با یکی از دو مقدار مستقل را تحت پارامترها و مفروضات معین به صورت خلاصه نشان می‌دهد.

مفروضات اساسی توزیع دو جمله‌ای عبارتند از اینکه برای هر آزمون فقط یک نتیجه دارد، احتمال موفقیت هر آزمون یکسان است ، و آزمون‌ها دو به دو ناسازگار یا مستقل از یکدیگر هستند.

توزیع دو جمله ای برخلاف توزیع پیوسته مانند توزیع نرمال نوعی توزیع گسسته رایج است که در آمار استفاده می شود.

درک توزیع دو جمله ای

توزیع دو جمله ای برخلاف توزیع پیوسته مانند توزیع نرمال نوعی توزیع گسسته رایج است که در آمار استفاده می شود. علت این است در توزیع دوجمله ای تنها دو حالت به حساب آورده می‌شود که معمولاً با 1 (برای موفقیت) یا 0 (برای یک شکست) با توجه به تعداد آزمون‌های انجام داده شده در داده‌ها نشان داده می شود. بنابراین، توزیع دوجمله ای احتمال موفقیت x در n آزمایش را با توجه به احتمال موفقیت p برای در هر آزمایش نشان می دهد.

توزیع دوجمله‌ای زمانی که در هر آزمایش احتمال یکسانی برای دستیابی به یک مقدار خاص وجود داشته باشد تعداد آزمایش‌ها یا مشاهداتی را خلاصه می‌کند. توزیع دو جمله ای احتمال مشاهده تعداد مشخصی از نتایج موفقیت آمیز را در تعداد مشخصی از آزمایشات تعیین می کند.

توزیع دوجمله ای اغلب در آمار علوم اجتماعی به عنوان مولفه‌های سازنده مدل هایی برای متغیرهایی با نتایج دوگانه استفاده می شود، مانند اینکه آیا فردی جمهوری خواه یا دموکرات در انتخابات آینده پیروز می شود یا اینکه آیا فردی در یک دوره زمانی مشخص از دنیا خواهد رفت یا خیر و غیره.

تجزیه و تحلیل توزیع دو جمله ای

مقدار مورد انتظار یا میانگین یک توزیع دو جمله ای با ضرب تعداد آزمایشات (n) در احتمال موفقیت (p)، یا n x p  محاسبه می شود.

به عنوان مثال، مقدار مورد انتظار تعداد شیرها در 100 آزمایش شیر یا خط 50 یا (100 * 0.5) است. نمونه‌ی رایج دیگر توزیع دو جمله ای تخمین شانس موفقیت برای پرتاب آزاد در بسکتبال است که در آن 1 = ورود توپ به سبد و 0 = عدم ورود توپ به سبد در نظر گرفته می‌شود.

فرمول توزیع دو جمله ای به صورت زیر محاسبه می شود:

P(x:n,p)=nCx×Px(1-p)n-x

که در آن: n تعداد آزمایشات (رویدادها) است

X  تعداد آزمایش های موفق است

P  احتمال موفقیت در یک آزمایش واحد است

nCx  ترکیبی از n و x است. ترکیب بر تعداد روش‌های انتخاب فضای نمونه‌ای متشکل ازx  عناصر از مجموعه‌ای از n شی مجزا که ترتیب انتخاب عناصر اهمیت ندارد و جایگزینی عناصر مجاز نیست دلالت دارد.

توجه داشته باشید کهnCx=n!/(r!(n−r)!)

که در آن ! فاکتوریل است

(4! = 4 x 3 x 2 x 1)

میانگین توزیع دو جمله ای np و واریانس توزیع دو جمله ای np (1 – p) است. وقتی p = 0.5، نمودار توزیع حول میانگین متقارن است. وقتی p > 0.5، توزیع به سمت چپ و هنگامی که p <0.5 توزیع به سمت راست کشیده می شود.

توزیع دو جمله ای مجموع یک سری آزمایشات برنولی مستقل و با توزیع یکسان است. در آزمایش برنولی، گفته می‌شود که آزمایش تصادفی است و تنها دو نتیجه ممکن خواهد داشت: موفقیت یا شکست.

به عنوان مثال، پرتاب سکه نوعی آزمایش برنولی در نظر گرفته می شود. هر آزمایش فقط ممکن است یکی از دو مقدار (شیر و خط) را داشته باشد، هر موفقیت احتمال یکسانی دارد (احتمال آمدن شیر 0.5 است) و نتایج هر آزمایش تأثیری بر نتایج آزمایشی دیگر ندارد. توزیع برنولی حالت خاصی از توزیع دوجمله‌ای است که در آن تعداد آزمایش‌ها n=1 است.

نمونه ای از توزیع دو جمله ای

توزیع دو جمله ای با ضرب احتمال موفقیت به توان تعداد موفقیت ها در احتمال شکست به توان اختلاف بین تعداد موفقیت ها و تعداد آزمایش ها محاسبه می شود. سپس، حاصلضرب در ترکیب تعداد آزمایش و تعداد موفقیت ضرب می‌شود.

به عنوان مثال، فرض کنید که کازینویی یک بازی جدید ایجاد کرده است که در آن شرکت‌کنندگان می‌توانند روی آمدن تعداد شیر یا خط در تعداد مشخصی از  پرتاب سکه شرط‌بندی کنند. فرض کنید یک شرکت‌کننده می‌خواهد 10 دلار شرط بندی کند که دقیقاً شش شیردر 20  پرتاب سکه خواهد آمد. این شرکت‌کننده می‌خواهد احتمال وقوع این اتفاق را محاسبه کند، و بنابراین برای انجام این کار از محاسبه توزیع دوجمله‌ای استفاده می‌کنند.

احتمال رویداد این حالت به صورت زیر محاسبه می‌شود:

(20! / (6! * (20 – 6)!)) * (0.50)^(6) * (1 – 0.50) ^ (20 – 6)

در نتیجه، احتمال وقوع دقیقاً شش شیر در 20 پرتاب سکه 0.037 یا 3.7٪ است. مقدار مورد انتظار در این آزمایش آمدن 10 شیر بود، بنابراین شرکت کننده شرط بندی ضعیفی انجام داده است.