تابع چگالی احتمال (PDF) چیست و محاسبه آن چگونه است؟

به گزارش اقتصاد آنلاین،در امور مالی، معامله‌گران و سرمایه‌گذاران از تابع‌های چگالی احتمال برای درک نحوه توزیع بازده قیمت و ارزیابی ریسک و مشخصات بازده مورد انتظار خود استفاده می‌کنند.

نکات کلیدی

تابع چگالی احتمال یک معیار آماری است که برای اندازه گیری نتیجه احتمالی یک مقدار گسسته (به عنوان مثال، قیمت سهام یاصندوق قابل معامله در بورس) استفاده می شود.

توابع چگالی احتمال روی نموداری که معمولاً شبیه یک منحنی زنگوله‌ای شکل است رسم می‌شوند در حالتی که احتمال نتایج زیر منحنی نشان داده می‌شود.

مقدار متغیر گسسته را می‌توان به طور دقیق اندازه‌گیری کرد، در حالی که یک متغیر پیوسته ممکن است بی نهایت مقادیر مختلف داشته باشد.

از توابع چگالی احتمال می‌توان برای اندازه‌گیری ریسک و پاداش بالقوه یک اوراق بهادار یا صندوق خاص در یک سبد استفاده کرد.

غالبا گفته می‌شود که منحنی توزیع نرمال اغلب منحنی زنگوله‌ای شکل را تشکیل می دهد.

آشنایی با توابع چگالی احتمال (PDF)

توابع چگالی احتمال در امور مالی برای سنجش ریسک یک نوع اوراق بهادار خاص مانند سهام منفرد یا صندوق قابل معامله در بورس استفاده می شوند.

این توابع معمولاً روی یک نمودار ترسیم می‌شوند، به طوری که منحنی زنگوله‌ای شکل معمولی ریسک بازار خنثی را نشان می دهد و تشکیل شکل زنگوله‌ای در هریک از دو انتهای نمودار نسبت ریسک به پاداش بیشتر یا کمتر از حالت عادی را منعکس می‌کند. هنگام ترسیم منحنی توابع چگالی احتمال، ناحیه زیر منحنی بازه زمانی را نشان می دهد که متغیر در آن اندازه‌گیری می‌شود. مساحت کل در این بازه از نمودار برابر با احتمال وقوع یک متغیر تصادفی گسسته است.

به بیان دقیق تر، از آنجایی که احتمال مطلق رویداد هر مقدار مشخص از یک متغیر تصادفی پیوسته به دلیل مجموعه نامتناهی مقادیر ممکن آن، صفر است می توان از مقدار توابع چگالی احتمال برای تعیین احتمال قرار گرفتن یک متغیر تصادفی در یک محدوده خاص از مقادیر استفاده کرد.

توزیع نرمال (منحنی زنگوله‌ای شکل)

توزیع احتمالی با چوله به راست نشان دهنده پاداش بیشتر افزایش قیمت است، در حالی که توزیع احتمالی با چوله به سمت چپ ریسک نزولی بیشتر را برای معامله گران نشان می‌دهد.

از توزیع‌های احتمال هم‌چنین می‌توان برای ایجاد توابع توزیع تجمعی (CDF) استفاده کرد که احتمال وقوع رویدادها را به صورت تجمعی با یکدیگر جمع می‌کند و همیشه از صفر شروع می‌شود و به 100 منتهی می‌شود.

نکته

سرمایه گذاران باید از توابع چگالی احتمال به عنوان یکی از ابزارهای متعدد ارزیابی ریسک به پاداش کلی سبد سرمایه‌گذاری خود استفاده کنند.

توابع توزیع احتمال گسسته در مقابل توابع پیوسته

از توابع چگالی احتمال می‌توان برای توصیف داده های گسسته یا پیوسته استفاده کرد. تفاوت آن‌ها در این است که متغیرهای گسسته فقط مقادیر خاصی مانند اعداد صحیح، بله یا خیر، زمان های روز و موارد مشابه را اختیار می‌کنند. در مقابل، متغیرهای پیوسته شامل تمام مقادیر ممکن در امتداد یک منحنی از جمله کسرها یا اعداد اعشاری بسیار کوچک تا تعداد به لحاظ نظری بینهایت مکان مختلف می‌شوند.

محاسبه تابع توزیع احتمال

توابع چگالی احتمال اغلب با میانگین، انحراف معیار، کشیدگی و چولگی مشخص می شوند.

میانگین: به مقدار میانگین حسابی اشاره دارد

انحراف معیار: پراکندگی داده ها در اطراف میانگین را نشان می‌دهد

کشیدگی: «چاقی» دنباله‌های منحنی‌های توابع چگالی احتمال را توصیف می کند

چولگی: به انحرافات در تقارن توابع چگالی احتمال اشاره دارد

محاسبه توابع چگالی احتمال و ترسیم نمودار آن‌ها ممکن است شامل محاسبات پیچیده ای باشد که در آن‌ها از معادلات دیفرانسیل یا حساب انتگرال استفاده می‌شود. در عمل، برای محاسبه تابع توزیع احتمال به ماشین حساب های ترسیم نمودار یا بسته های نرم افزاری آماری نیاز است.

توزیع عادی

سایر توابع توزیع احتمال

در حالی که توزیع نرمال اغلب پر استنادترین و شناخته شده‌ترین تابع توزیع احتمال است، چندین تابع چگالی دیگر نیز وجود دارد.

توزیع یکنواخت

ساده‌ترین و محبوب‌ترین نوع توزیع احتمال توزیع یکنواخت است که در آن شانس وقوع تمام نتایج یکسان است. یک تاس شش وجهی توزیع احتمال یکنواختی دارد. شانس وقوع هر پیامد احتمالی آن در حدود 16.67٪ (1/6) است.

توزیع دو جمله ای

توزیع دوجمله ای داده هایی را نشان می دهد که فقط ممکن است یکی از دو مقدار را اختیار کنند مانند پرتاب یک سکه (شیر در مقابل خط) یا عبارات منطقی که به شکل بله یا نه، روشن یا خاموش و غیره هستند.

هیستوگرام توزیع دوجمله ای سی کی تیلور

توزیع لاگ نرمال

توزیع لاگ نرمال در امور مالی اهمیت دارد زیرا بازده واقعی قیمت دارایی را بهتر از توزیع نرمال استاندارد توصیف می کند. این تابع چگالی احتمال دارای چولگی مثبت (راست) و کشیدگی بالاتر است.

توزیع لاگ نرمال.

توزیع پواسون

توزیع پواسون یک تابع چگالی احتمال است که برای توصیف متغیرهای شمارشی یا احتمال وقوع تعداد معینی از رخدادها استفاده می شود. به عنوان مثال چند سیب روی درختان سیب یافت می شود، چند زنبور در طول زمان در کندو زنده هستند، یا در چند روز معاملاتی ضرر یا سود یک سبد سرمایه‌گذاری برابر 5 درصد یا بیشتر از آن می‌شود.

توزیع بتا

توزیع بتا یکی از انواع عمومی توابع چگالی احتمال است که ممکن است شکل‌ها و ویژگی‌های مختلفی را به خود بگیرد که فقط با دو پارامتر تعریف می‌شوند: آلفا و بتا. این تابع توزیع احتمال اغلب در امور مالی و برای تخمین نرخ بازیابی سرمایه زمان نکول اوراق قرضه یا نرخ مرگ و میر در بیمه استفاده می شود.

نسخه‌های مختلف توزیع بتا

مثالی از تابع چگالی احتمال

به عنوان یک مثال ساده از توزیع احتمال، اجازه دهید عدد مشاهده شده هنگام پرتاب دو تاس شش وجهی استاندارد را بررسی کنیم. برای هریک از این دو تاس، احتمال مشاهده شدن هر عدد از یک تا شش 6/1 است، اما احتمال مجموع ارقام دو تاس، توزیع احتمال نشان داده شده در تصویر زیر را تشکیل می دهد.

هفت رایج‌ترین نتیجه برای پرتاب دو تاس است (1+6، 6+1، 5+2، 2+5، 3+4، 4+3). دو و دوازده نیز از سوی دیگر کم‌احتمال‌ترین نتایج خواهند بود (1+1 و 6+6).

تصویر سابرینا جیانگ

تابع چگالی احتمال (PDF) چه چیزی را نشان می‌دهد؟

تابع چگالی احتمال (PDF) میزان احتمال مشاهده برخی نتایج را در فرآیند تولید داده توصیف می کند. به عنوان مثال، چقدر احتمال دارد که در پرتاب یک سکه سالم شیر رو بیاید (50٪)، یا چقدر احتمال دارد که در پرتاب تاس عدد 6 مشاهده شود (1/6 = 16.7٪). به همین‌دلیل، هر تابع چگالی احتمال ممکن است به ما نشان دهد که احتمال مشاهده کدام مقادیر از همه بالاتر و احتمال مشاهده کدام مقادیر از همه کمتر است. این نتایج بسته به شکل و ویژگی های تابع‌های چگالی احتمال تغییر می کنند.

قضیه حد مرکزی (CLT) چیست و چه ارتباطی با توابع چگالی احتمال دارد؟

قضیه حد مرکزی (CLT) بیان می کند که نحوه توزیع یک متغیر تصادفی در یک نمونه با بزرگتر شدن اندازه نمونه بدون توجه به شکل واقعی توزیع به تدریج به توزیع نرمال نزدیک می‌شود. بنابراین، می دانیم که پرتاب یک سکه یک فرآیند دودویی است که با توزیع دو جمله ای (شیر یا خط) توصیف می شود. با این حال، اگر پرتاب چندین سکه را در نظر بگیریم، احتمال مشاهده هر ترکیب خاصی از شیر و خط متفاوت خواهد بود. به عنوان مثال، اگر بخواهیم سکه را ده بار پرتاب کنیم، شانس 5 بار رو آمدن هریک از دو حالت شیر و خط محتمل‌ترین نتیجه خواهد بود، اما شانس ده مرتبه شیر آمدن پشت سر هم سکه بسیار نادر است. اگر پرتاب 1000 سکه را در نظر بگیرید توزیع احتمال نتایج مختلف آن به منحنی زنگوله‌ای توزیع نرمال نزدیک شود.